精選答案從數(shù)學(xué)分析的課本講起吧.
復(fù)旦自己的課本應(yīng)該可以從六十年代上?？萍汲龅乃闫?指正式出版),那本書在香港等地翻印后反應(yīng)據(jù)說(shuō)非常好,似乎丘成桐先生做學(xué)生的時(shí)候也曾收益與此.
到90年代市面上還能看到的課本里面,有一套陳傳璋先生等編的,可能就是上面的書的新版,交大的試點(diǎn)班有幾年就拿該書做教材.另外有上?？萍及娴臍W陽(yáng)光中(谷先生的連襟),秦曾復(fù),朱學(xué)炎三位編的課本,好象后來(lái)數(shù)學(xué)系不用了,計(jì)算機(jī)系倒還在用.那本書里面據(jù)說(shuō)積分的第二中值定理的陳述有點(diǎn)小錯(cuò).
總的說(shuō)來(lái),這些書里面都可以看到一本書的影子,就是菲赫今哥爾茨的"數(shù)學(xué)分析原理",其原因,按照秦老師的說(shuō)法,是最初在搞教材建設(shè)的時(shí)候,北大選的"模本"是辛欽的"數(shù)學(xué)分析簡(jiǎn)明教程",而復(fù)旦則選了"數(shù)學(xué)分析原理".
后來(lái)自然有歐陽(yáng)先生和姚允龍老師的那本數(shù)學(xué)分析.我不否認(rèn)那是一種嘗試,但是感覺(jué)上總有點(diǎn)別扭.以比較新的觀點(diǎn)來(lái)看數(shù)學(xué)分析這樣經(jīng)典的內(nèi)容在國(guó)際上的確是一種潮流,但是從這個(gè)意義上說(shuō)該書做得并不是非常好.而且從整體的
課程體系上說(shuō),在后面有實(shí)變函數(shù)這樣一門課的情況下是否有必要引入Lebesgue積分值得商榷.
下面開(kāi)始講一些課本,或者說(shuō)參考書:
菲赫今哥爾茨
"微積分學(xué)教程","數(shù)學(xué)分析原理".
前一本書,俄文版共三卷,中譯本共8本;
后一本書,俄文版共二卷,中譯本共4本.
此書堪稱經(jīng)典.
"微積分學(xué)教程"其實(shí)連作者(莫斯科或者列寧格勒大學(xué)的教授,門下弟子無(wú)數(shù),包括后來(lái)得諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)的著名數(shù)學(xué)家Kantorovitch)都承認(rèn)不太合適作為教材,為此他才給出了
能夠做教材的后一套書,可以說(shuō)是一個(gè)精簡(jiǎn)的版本(有所補(bǔ)充的是在最后給出了一個(gè)后續(xù)課程的簡(jiǎn)介).
相信直到今天,很多老師在開(kāi)課的時(shí)候還是會(huì)去找"微積分學(xué)教程",因?yàn)槔锩娴母鞣N各樣的例題實(shí)在太多了.如果想比較扎實(shí)的打基礎(chǔ)的話,可以考慮把里面的例題當(dāng)做有答案的習(xí)題來(lái)做,當(dāng)然不是每道題都可以這么辦的.如果你全部做完了那里的題目然后考試的時(shí)候碰到你做過(guò)的可別怪我.
毫無(wú)疑問(wèn),這套書代表了以古典的方式處理數(shù)學(xué)分析內(nèi)容(指不引入實(shí)變,泛函的觀念)的最高水平,考慮到在中國(guó)的印數(shù)就以十萬(wàn)計(jì),可能在世界范圍內(nèi)也只有Goursat的書可以與之相比了.
這兩套書在理圖里面都有.
Apostol
"Mathematical Analysis"
在西方(西歐和美國(guó)),這應(yīng)該算得上是一本相當(dāng)完整的課本了,在總書庫(kù)里面有.
3.W.Rudin
"Principles of Mathematical Analysis"
(有中譯本:盧丁"數(shù)學(xué)分析原理",理圖里有)
這也是一本相當(dāng)不錯(cuò)的書,后面我們可以看到,這位先生寫了一個(gè)系列的教材.該書的講法,(指一些符號(hào),術(shù)語(yǔ)的運(yùn)用)也是很好的.
這里附帶說(shuō)一句,因?yàn)樵诶砘锩娈?dāng)年念的是后來(lái)復(fù)旦出版社出的秦老師和余躍年編的"高等數(shù)學(xué)",雖然我一向認(rèn)為該書編的很是不好,但是在這里想引秦老師的一句話,希望能對(duì)非數(shù)學(xué)專業(yè)的ddmm有所幫助:就是學(xué)完"高等數(shù)學(xué)"以后,可以找一本西方advanced calculus水平的書來(lái)看,基本上就能夠達(dá)到一般數(shù)學(xué)系的要求了.當(dāng)時(shí)秦老師曾特別指出Rudin的書.
說(shuō)到Advaced Calculus,在這個(gè)標(biāo)題下面有一本書也是可以一看的,就是L.Loomis和S.Sternberg的AdvancedCalculus,其第一版在總書庫(kù)里面有不少,第二版在理圖外國(guó)教材中心有一本,系資料室是不是有不清楚.這本書的觀點(diǎn)還是很高的,畢竟是人家Harvard的課本.
4."數(shù)學(xué)分析"(北大版)方企勤,沈燮昌等
"數(shù)學(xué)分析習(xí)題集","數(shù)學(xué)分析習(xí)題課教材".
北大的這套課本寫得還是可以的,不過(guò)最好的東西還是兩本關(guān)于習(xí)題的東西.大家知道,吉米多維奇并不是很適合數(shù)學(xué)系的學(xué)生的,畢竟大多是計(jì)算題(一個(gè)比較有意思的地方是那套被廣大教師痛罵的習(xí)題解答其實(shí)有一個(gè)題的第二小題是沒(méi)答案的,原因好象是編書的人也沒(méi)做出來(lái),好象是關(guān)于級(jí)數(shù)收斂的一個(gè)題目).相比之下北大的這本習(xí)題集就要好許多,的的確確值得一做.那本習(xí)題課教材也是很有意思的書,包括一些相當(dāng)困難的習(xí)題的解答,96年那會(huì)理圖里面有一本,現(xiàn)在不知道怎么樣了.
5.克萊鮑爾"數(shù)學(xué)分析"
記得那是一本以習(xí)題的形式講分析的書,題目也很不錯(cuò).
理圖里有.
6.張筑生"數(shù)學(xué)分析新講"(共三冊(cè))
我個(gè)人認(rèn)為這是中國(guó)人寫的觀點(diǎn)最新的數(shù)學(xué)分析課本,張老師寫這書也實(shí)在是嘔心瀝血,手稿前后寫了差不多五遍.象他這樣身有殘疾的人做這樣一件事情所付出的是比常人要多得多的.以致他自己在后記中也引了"都云作者癡,誰(shuí)解其中味".在這套書里,對(duì)于許多材料的處理都和傳統(tǒng)的方法不太一樣.非常值得一讀.唯一的遺憾是,按照張老師本人的說(shuō)法,北大出版社找了家根本不懂怎么印數(shù)學(xué)書的印刷廠,所以版面不是很好看.理圖里有.
下面的一些書可能是比較"新穎"的.
7a.尼柯?tīng)査够?quot;數(shù)學(xué)分析(教程?)"
理圖里有,是清華的人翻譯的,好象沒(méi)翻全.那屬于80年代以后蘇聯(lián)的新潮流的代表,不管怎么說(shuō),人家是蘇聯(lián)科學(xué)院院士.
7b."數(shù)學(xué)分析"
忘了是誰(shuí)寫的了, 也是蘇聯(lián)的,莫斯科大學(xué)的教材.理圖里面有第一卷的中譯本,分兩冊(cè).那里面從極限的講法(對(duì)于拓?fù)浠?開(kāi)始就能夠明顯得讓人感覺(jué)到觀點(diǎn)非常的"高".
8.狄多涅"現(xiàn)代分析基礎(chǔ)(第一卷)"
那是一套二十世紀(jì)的大家寫的一整套教材的第一卷,用的術(shù)語(yǔ)相當(dāng)"高深",可能等以后學(xué)了實(shí)變,泛函再回過(guò)頭來(lái)看感覺(jué)會(huì)更好一些.
9.說(shuō)兩句關(guān)于非數(shù)學(xué)專業(yè)的高等數(shù)學(xué).
這里強(qiáng)烈推薦理圖里面幾本法國(guó)人寫的數(shù)學(xué)書.因?yàn)樵诜▏?guó)高等教育系統(tǒng)里面,對(duì)于最好的學(xué)生,中學(xué)畢業(yè)以后念的是兩年大學(xué)預(yù)科,這樣就是不分系的,所以他們的高等數(shù)學(xué)(比如理圖里面有J.Dixmier院士的"高等數(shù)學(xué)"第一卷)或者叫"普通數(shù)學(xué)"(理圖里面有一套書就是這個(gè)標(biāo)題),其水平基本上介于國(guó)內(nèi)數(shù)學(xué)系和物理系的數(shù)學(xué)課之間.
10.再補(bǔ)充一個(gè)技術(shù)性的小問(wèn)題.對(duì)于函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂,一致收斂是充分而非必要的,有一個(gè)充要條件叫"亞一致收斂性",在"微積分學(xué)教程"里面提了一句,其詳細(xì)討論,似乎僅見(jiàn)于
魯金(Lusin)的"實(shí)變函數(shù)論"里面,總書庫(kù)里面有.
11.華羅庚先生的"高等數(shù)學(xué)引論"第一卷
這套書(其實(shí)沒(méi)有完成最初的計(jì)劃)是六十年代初華先生在王元先生的輔助下對(duì)科大學(xué)生開(kāi)課時(shí)的講義.那時(shí)候他們做過(guò)一個(gè)實(shí)驗(yàn),就是一個(gè)教授負(fù)責(zé)一屆學(xué)生的教學(xué),所以華先生這書里面其實(shí)是涉及很多方面的(附帶提一句,另外兩位負(fù)責(zé)過(guò)一屆學(xué)生的是關(guān)肇直先生和吳文俊先生).也是出于一種嘗試吧,華先生這書里面有一些不屬于傳統(tǒng)教學(xué)內(nèi)容的東西,還包括一些應(yīng)用.可以一讀.理圖里有.
12.何琛,史濟(jì)懷,徐森林
"數(shù)學(xué)分析"
這應(yīng)該是科大的教材,雖然好象影響不是很大,我本人還是很喜歡的,高一的時(shí)候第一次學(xué)數(shù)分就是用的這套書,感覺(jué)是條理清晰,配的習(xí)題也很好.印刷質(zhì)量也相當(dāng)不錯(cuò).可惜的是學(xué)校里面沒(méi)有,所以放在最后.
空間解析幾何實(shí)在是一門太經(jīng)典,或者說(shuō)古典的課.從教學(xué)內(nèi)容上說(shuō),可以認(rèn)為它描述的主要是三維歐氏空間里面的一些基本常識(shí),包括最基本的線性變換(那是線性代數(shù)的特例),
和二階曲面的不變量理論.在現(xiàn)行的復(fù)旦的教材,蘇先生,胡先生他們編的"空間解析幾何"里面,最后還有一章講射影幾何.
這本書非常之薄.但是內(nèi)容還是比較豐富的.特別是有些習(xí)題并不是非常容易.最后一章射影的內(nèi)容還不是很好念的.
當(dāng)然,這里還要提到十來(lái)年前大概做過(guò)教材的一本書:
項(xiàng)武義,潘養(yǎng)廉等
"古典幾何學(xué)".
這書的內(nèi)容與課本不是很一樣,不過(guò)處理方法還是很不錯(cuò)的.項(xiàng)先生應(yīng)當(dāng)算做很能侃的那種類型的.
可以考慮的參考書包括:
陳(受鳥(niǎo))
"空間解析幾何學(xué)"
內(nèi)容基本上和課本差不多,不過(guò)要厚許多,自然要好念點(diǎn).陳先生是吳大任先生(大猷先生的堂弟,南開(kāi)多年的教務(wù)長(zhǎng))的夫人,也是中國(guó)早期留學(xué)海外的女學(xué)者.
朱鼎勛
"解析幾何學(xué)"
這本書基本上只在歐氏空間里面討論問(wèn)題.優(yōu)點(diǎn)是非常易懂,連二維的不變量理論也在附錄里面交代得異常清楚.那里面的習(xí)題也比較合理,不是非常的難(如果我沒(méi)有記錯(cuò)的話).朱先生相當(dāng)有才華,可惜英年早逝.
關(guān)于數(shù)學(xué)分析的習(xí)題,還有一本書,就是
G.Polya(波利亞),G.Szego(舍貴)的
"數(shù)學(xué)分析中的問(wèn)題和定理"
在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析的階段,可以考慮其第一卷的前面一半,后面就全是復(fù)變的東西了.該書的內(nèi)容還是非常豐富的.在歷史上,這是一套曾經(jīng)使好幾代數(shù)學(xué)家都受益匪淺的經(jīng)典著作.這套書的一個(gè)好處就是題目難歸難,后面還是有答案或提示的.
"微積分學(xué)教程"的第一卷有一冊(cè)在理圖里面似乎很少,
到總書庫(kù)里面去看看吧!
Loomis-Sternberg的書的書號(hào)是O172 L863
如果想了解比較"新"的動(dòng)態(tài),可以考慮
Postnikov
"解析幾何學(xué)與線性代數(shù)(?)"(第一學(xué)期)這是莫斯科大學(xué)新的課本,從課程形式就可以看出,解析幾何這樣一門課如果不是作為對(duì)剛進(jìn)大學(xué)的學(xué)生的一個(gè)引導(dǎo),給出一些具體的對(duì)象的話,遲早是要給吃到線性代數(shù)里面去的.海外教材中心有一本英文本.
我個(gè)人以為,現(xiàn)在教委的減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)的做法遲早是要遭報(bào)應(yīng)的.中國(guó)的中學(xué)教育水平也就比美國(guó)最糟糕的中學(xué)好點(diǎn),從整體上說(shuō),比整個(gè)歐洲都要差.我相信所謂三維的"解析"幾何的內(nèi)容總有一天要下放到高中里面去.
上面的書如果撐不飽你,你又不想學(xué)其它的課程的話.可以考慮下面兩本經(jīng)典.其好處是看過(guò)以后可以對(duì)很多幾何對(duì)象(當(dāng)然具體說(shuō)是指三維空間里面的二次曲面)有相當(dāng)深刻的了解.
狄隆涅
"(解析)幾何學(xué)"
這套三卷本的大書包括了許多非常有意思的討論,記得五年
前看的時(shí)候感覺(jué)非常有意思.這位蘇聯(lián)科學(xué)院院士真是夠能
寫的.總書庫(kù)里面有.
穆斯海里什維利
"解析幾何學(xué)教程"
這套書在上面提到的陳先生的書里面就多次引用了.具體的說(shuō)特別值得參考的是它里面關(guān)于射影的一些觀點(diǎn)和講法(比如認(rèn)為橢圓也是有漸近線的,只不過(guò)是"虛"的而已).
高等代數(shù)可以認(rèn)為處理的是有限維線性空間的理論.如果嚴(yán)格一點(diǎn),關(guān)于線性空間的理論應(yīng)該叫線性代數(shù),再加上一點(diǎn)多項(xiàng)式理論(就是可以完完全全算做代數(shù)的內(nèi)容的)就叫高等代數(shù)了.這門課在西方的對(duì)應(yīng)一般叫Linear Algebra,就是蘇聯(lián)人喜歡用高等這個(gè)詞,你可以在外國(guó)教材中心里面找到一本Kurosh(庫(kù)落什)的Higher Algebra.
現(xiàn)在用的課本好象是北大的"高等代數(shù)"(第二版?).用外校的課本在基礎(chǔ)課里面是不常見(jiàn)的.這本書可以說(shuō)是四平八穩(wěn),基本上該講的都講了.但是你要說(shuō)它有什么地方講的特別好,恐怕說(shuō)不出來(lái).
值得注意的是95-96學(xué)年度,北大現(xiàn)在的校黨委組織部長(zhǎng)王杰老師(段學(xué)復(fù)先生的弟子)給北大數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院95級(jí)1班
開(kāi)課時(shí)曾經(jīng)寫過(guò)一本補(bǔ)充材料,把空間理論的講得非常清楚.如果誰(shuí)能搞到的話翻印出來(lái)是件很好的事情(我的那本舒五昌老師給96開(kāi)課的時(shí)候送給他了,估計(jì)是找不到了).
好象上面有一點(diǎn)說(shuō)得不對(duì),就是北大的書用的還是第一版.第二版在書店里似乎看見(jiàn)過(guò).
從這門課的內(nèi)容上說(shuō),是可以有很多種講法的.線性空間的重點(diǎn)自然是線性變換,那么如果在定義空間和像空間里面取定一組基的話,就有一個(gè)矩陣的表示.因此這門課的確是可以建立在矩陣論上的.而且如果要和數(shù)值搭界的話還必須這么做.復(fù)旦以前有兩本課本就是這么做的.
蔣爾雄,吳景琨等
"線性代數(shù)"
這是那時(shí)候計(jì)算數(shù)學(xué)專業(yè)的課本,其教學(xué)要求據(jù)說(shuō)是比數(shù)學(xué)專業(yè)相應(yīng)的課程要高的.因?yàn)槭瞧蛴?jì)算的緣故,你可以找到一些比較常用的算法.我個(gè)人以為還是比較有意思的.理圖里有.
屠伯塤等
"高等代數(shù)"
這就是在上?？萍汲霭娴囊徽讖?fù)旦數(shù)學(xué)系教材里講高等代數(shù)的那本.不記得圖書館里面有,不過(guò)系里可能可以買到翻印的.
這本書將80%的篇幅貢獻(xiàn)給矩陣的有關(guān)理論.有大量習(xí)題,特別是每章最后的"選做題".能獨(dú)立把這里面的習(xí)題做完對(duì)于理解矩陣的各種各樣的性質(zhì)是非常有益的.
當(dāng)然這不是很容易的:
據(jù)說(shuō)屠先生退休的時(shí)候留下這么句話:"今后如果有誰(shuí)開(kāi)高等代數(shù)用這本書做教材,在習(xí)題上碰到麻煩的話可以來(lái)找我."有此可見(jiàn)一斑.如果從習(xí)題方面考慮,覺(jué)得上面的書太難吃下去的話,那么下面這本應(yīng)該說(shuō)是比較適當(dāng)?shù)?
屠伯塤等
"線性代數(shù)-方法導(dǎo)引"
這本書比上面那本可能更容易找到,里面的題目也更"實(shí)際"一些.值得一做.
另外,講到矩陣論.就必須提到甘特瑪赫爾"矩陣論"
我覺(jué)得這恐怕是這方面最權(quán)威的一本著作了.其中譯者是柯召先生.在這套分兩冊(cè)的書里面,講到了很多不納入通常課本的內(nèi)容.舉個(gè)例子,大家知道矩陣有Jordan標(biāo)準(zhǔn)型,但是化一個(gè)矩陣到它的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型的變換矩陣該怎么求?請(qǐng)看"矩陣論".這書里面還有一些關(guān)于矩陣方程的討論,非常有趣.總書庫(kù)里有.
圖書館里面還有一本書的名字和矩陣論沾邊.
許以超
"線性代數(shù)和矩陣論"
雖然許先生對(duì)復(fù)旦不甚友好(高三那會(huì)他對(duì)我說(shuō)要在中國(guó)念大學(xué)數(shù)學(xué)系要么去北大,要么去科大--他是北大畢業(yè)的,現(xiàn)在數(shù)學(xué)所工作--我可沒(méi)聽(tīng)他的),但是必須承認(rèn)這本書還是寫得很不錯(cuò)的,習(xí)題也不錯(cuò).必須指出,這里面其實(shí)對(duì)于空間的觀念很重視.不管怎么樣,他還是算華先生的弟子的.
華羅庚
"高等數(shù)學(xué)引論"
華先生做數(shù)學(xué)研究的特點(diǎn)是其初等直觀的方法別具一格,在
矩陣?yán)碚摲矫嫠灿泻芎玫墓ぷ?甘特瑪赫爾的書里面你只能找到兩個(gè)中國(guó)人的名字,一個(gè)是樊畿先生,另一個(gè)就是華先生.可能是他第一次把下述觀點(diǎn)引進(jìn)中國(guó)的數(shù)學(xué)教材的(不記得是不是在這本書里面了):n階行列式是n個(gè)n維線性空間的笛卡爾積上唯一一個(gè)把一組標(biāo)準(zhǔn)基映到1的反對(duì)稱線性函數(shù).這就是和多線性代數(shù)或者說(shuō)張量分析的觀點(diǎn)很接近了.